De wiskunde van een lampenkap
Los de volgende vraag op: levert x3+y2+1 dezelfde vorm op als
x3+3y2+xy2? Voor derdegraadsvergelijkingen is het beantwoorden van
deze vraag te doen. Op vergelijkingen van de vierde graad, zoals
x4+y3+2y2=3, een curve met de vorm van een lampenkap, beten
wiskundigen zich stuk. Eindhovense NWO-onderzoekers hebben een methode
ontwikkeld die met deze vergelijkingen overweg kan.
In een NWO-project aan de Technische Universiteit Eindhoven bogen
wiskundigen zich over de vraag of twee verschillende vergelijkingen
eenzelfde grafiek opleveren. Of, met andere woorden, zijn de twee
vergelijkingen equivalent? Voor vierdegraadsvergelijkingen losten de
onderzoekers het probleem op. Ook voor de ingewikkeldere
vergelijkingen van de vijfde graad werkt de methode. De wiskundigen
maakten eerst van de vierdegraadsvergelijkingen, via zogenaamde
covariantafbeelding, tweedegraadsvergelijkingen. Er gaat dan
informatie verloren, maar de verkregen vergelijkingen van de tweede
graad zijn goed te begrijpen en op te lossen.
De oplossing van de tweedegraadsvergelijkingen gebruikten de
onderzoekers vervolgens om een deel van de oorspronkelijke
vergelijkingen van de vierde graad weg te strepen. De vergelijkingen
die dan overblijven zijn op te lossen na wat rekenwerk. De
rekenmethode is geschikt voor vergelijkingen van de vierde graad en
met wat aanpassingen voor vergelijkingen van de vijfde graad. De vraag
die de wiskundigen in de toekomst graag zouden willen beantwoorden is
of er ook manieren zijn om problemen van de zesdegraad of zelfs nog
complexer op te lossen. Het onderzoek werd gefinancierd door
NWO-Exacte Wetenschappen.
Het probleem van gelijkvormigheid speelt onder andere een rol bij het
herkennen van beelden door computers. De computer ziet bijvoorbeeld
niet dat een echte lampenkap die op twee manieren is afgebeeld,
eigenlijk een en dezelfde lampenkap is. Als de computer de twee
lampenkappen zou kunnen omzetten in twee wiskundige formules, dan kan
hij met behulp van de nieuw ontwikkelde rekenregels berekenen dat de
lampenkappen hetzelfde zijn. Zover is het nog niet. Computers hebben
moeite met de eerste stap; het vertalen van de lampenkap naar een
wiskundige formule.
Nadere informatie bij:
* ir. Sander van Rijnswou, (TUE, Discrete wiskunde)
* tel. (040) 2474765 of (040) 2475141 (secretariaat), fax (040) 2435810
* e-mail sander@win.tue.nl
* Promotie 11 april 2001
Voorbeeld van een vergelijking van de vierde graad: x4+y3+2y2=3. Eindhovense NWO-onderzoekers hebben een methode ontwikkeld die vierdegraadsvergelijkingen met elkaar kan vergelijken.