Technische Universiteit Delft
Tijdvariërende systemen
23 september 2002 | 10.30 uur
hr. P. van der Kloet | wiskundig ingenieur.
promotoren | prof.dr.ir. J. van Katwijk (fac ITS) en Prof.Dr.-Ing. W. Mathis
(U. Hannover, Duitsland)
Modal solutions for linear time varying systems.
Van stelsels homogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante
coëfficiënten, waarin de tijd als onafhankelijk variabele optreedt, is
bekend dat de oplossing is te schrijven als een som van exponentiële
functies. Daarbij is het argument van de exponent een lineaire functie van
de tijd. De helling daarvan wordt meestal bepaald door het oplossen van een
karakteristieke vergelijking die de vorm heeft van een algebra-ische
vergelijking. De graad van deze algebraische vergelijking komt overeen met
het aantal onafhankelijke vergelijkingen in het stelsel
differentiaalvergelijkingen. De afleiding van de oplossing is te baseren op
het superpositiebeginsel en het invariantiebeginsel.
In dit proefschrift worden lineaire differentiaalvergelijkingen met
tijdvariërende coëfficiënten beschouwd. Daarvoor is het invariantiebeginsel
niet meer toepasbaar en zal een andere weg gevolgd moeten worden om tot
oplossingen te komen. Te gebruiken is een toestandsbeschrijving waarbij de
systeemmatrix in een eindig aantal stappen wordt gediagonaliseerd of
getriangulariseerd. Dit vereist in elke stap het oplossen van een
differentiaalvergelijking van het Riccati-type. Wordt dit procede toegepast
op een stelsel met constante coëfficiënten, dan volgt een algebraische
vergelijking van het Riccati-type. Deze laatste vergelijking tesamen met de
vergelijking voor het diagonaalelement in de getransformeerde
toestandsmatrix blijkt equivalent te zijn met de klassieke karakteristieke
vergelijking. Daardoor zijn de diagonaalelementen van de gediagonaliseerde
of getriangulariseerde systeemmatrix generalisaties van de eigenwaarden van
het onderliggende dynamische stelsel; we spreken van de dynamische
eigenwaarden.
Evenzo vormen de kolommen van het product van de geïntroduceerde
transformatiematrices in de diagonalisering van de systeemmatrix
generalisaties van de eigenvectoren van het onderliggende dynamische
stelsel; we spreken van de dynamische eigenvectoren. Zo een combinatie van
dynamische eigenvector en dynamische eigenwaarde is een oplossing van de
oorspronkelijke differentiaalvergelijking en een oplossing van een
gegeneraliseerd, het dynamisch, eigenwaardeprobleem. En is daardoor een
modale oplossing van het oorspronkelijke stelsel.
In de moderne niet-lineaire elektronica is kennis van deze oplossingen van
belang bij stabiliteitsproblemen, distorsieproblemen en ruisproblemen. Het
stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen met tijdvari-erende
co-effici-enten ontstaat daar als stelsel van variatievergelijkingen rond de
tijdvari-erende grootsignaal oplossing. De grootsignaal oplossing vereist
het oplossen van de niet-lineaire circuitvergelijkingen. Voor harmonische
bronsignalen is daartoe een harmonische balansmethode met een eindig aantal
vergelijkingen en een eindig aantal onbekenden ontwikkeld.
Voor verder lezen:
* Linear time varying systems and sampled-data systems by Akira
Ichikawa and Hitoshi Katayama, 2001
* Identification of time-varying processes by Maciej Niedzwiecki, 2000
* Minimum entropy control for time-varying systems, 1997
* Time-varying systems and computations by Patrick Dewilde and
Alle-Jan van der Veen, 1998
Maarten van der Sanden
Wetenschapsvoorlichter
Communicatie & Marketing Groep / TU Delft
tel.: 015 2785454
fax.: 015 2781855
GSM: 06 20408176